1+1=2

1 :名無し算:2017/03/16(木) 21:54:29.901 ID:QGnWnS3w
http://www.uja.jp/2004/11/proof.html
2 :名無し算:2017/03/16(木) 23:57:59.493 ID:QGnWnS3w
証明するには前提となる公理系が要請されていなければならない.$1+1=2$ は自然数の範囲で示せばいいと思うので,ここではペアノの公理系を採用する.

公理1 自然数 $0$ (先頭元)が存在する.

公理2 任意の自然数 $a$ にはその後者 (successor)、$suc(a)$ が存在する.

公理3 $0$ はいかなる自然数の後者でもない($0$ より前の自然数は存在しない).

公理4 異なる自然数は異なる後者を持つ:$a \neq b$ のとき $suc(a) \neq suc(b)$ となる.

公理5 $0$ がある性質を満たし,$a$ がある性質を満たせばその後者 $suc(a)$ もその性質を満たすとき,すべての自然数はその性質を満たす.(数学的帰納法)

定義 $suc(0)=1, suc(1)=suc(suc(0))=2, suc(2)=suc(suc(suc(0)))=3$ などと略記する.

定義 $f(1)=suc(a),f(suc(x))=suc(f(x))$ を満たす関数 $f$ を定義する.
この関数は,これから示すが自然数の和の法則を満たし,$f(b)$ は $a$ に $b$ を加えた和 $a+b$ を表すことがわかるので,$f(b)=a+b$ と略記できる.


定理1 $f(0)=a$ (つまり $f(0)$ の略記 $a+0$ に対して,$a+0=a$ となるから $0$ は和の右単位元である.)

証明 $f(suc(x))=suc(f(x))$ で $x=0$ を代入して $f(suc(0))=suc(f(0))$,$suc(0)=1$で左辺を置き換えて,$f(1)=suc(f(0))$.
$f(1)=suc(a)$ で左辺を置き換えると,$suc(a)=suc(f(0))$.公理4の対偶をとって,$a=f(0)$ がいえる.

定理2 $g(1)=suc(0),g(suc(x))=suc(g(x))$ を満たす関数 $g$ を定義すると,$g(a)=a$.(つまり $g(a)$ の略記 $0+a$ に対して,$0+a=a$ となるから $0$ は和の左単位元である.)

証明 $a$ に関する数学的帰納法.$g(suc(x))=suc(g(x))$ で $x=0$ を代入すると $g(suc(0))=suc(g(0)),g(1)=suc(g(0)),suc(0)=suc(g(0))$,公理4の対偶で $0=g(0)$である.$x=a$ のとき,$g(a)=a$ とすると,$g(suc(x))=suc(g(x))$ で $x=a$ とすると,$g(suc(a))=suc(g(a))=suc(a)$ より $x=suc(a)$ でも成り立つ.ゆえにすべての自然数 $a$ で $g(a)=a$ といえる.

定理3 $0$ は和の単位元である.(つまり $a+0=0+a=a$)

証明 定理1,2 より明らか.

定理4 $f(1)=suc(a)$,$f(suc(x))=suc(f(x))$ を満たす関数 $f$ と,$g(1)=suc(b), g(suc(x))=suc(g(x))$ を満たす関数 $g$ を定義すると,$f(b)=g(a)$.(つまり $f(b)=a+b, g(a)=b+a$ に対して和の交換律 $a+b=b+a$ が成り立つ.)

証明 $a, b$ に関する数学的帰納法.
$a=0$ について,定理1,2 より成り立つ.
$a$ で成り立つと仮定する.
 $b=0$ なら定理 1,2 より成り立つ.
 $f(b)=g(a)$ と仮定.$f(suc(b))=suc(f(b))=suc(g(a))=f(suc(a))$ より $f(suc(b))=f(suc(a))$ でも成り立つ.
よって,すべての $a, b$ について成り立つ.
よって,交換律が成り立つ.
よって,$f(1)=suc(a), f(suc(x))=suc(f(x))$ を満たす関数 $f$ は自然数の和の性質を満たしている.

具体的に $f$ がどんな関数か書いてみる.たとえば $a=5$ なら,
$f(1)=suc(5)=6, f(suc(x))=suc(f(x))$ を満たす関数 $f$ は
$f(2)=f(suc(1))=suc(f(1))=suc(6)=7$,これが $5+2=7$ を表す.
$f(3)=f(suc(2))=suc(f(2))=suc(7)=8$,これが $5+3=8$ を表す.

定理5 $1+1=2$ である.

証明 $f(1)=suc(1), f(suc(x))=suc(f(x))$ を満たす関数 $f$ について,
$f(1)=suc(1)=suc(suc(0))$.つまり$f(1)=suc(suc(0))$.
$f(1)$ は $1+1$ の略記であり,$suc(suc(0))$ は $2$ の略記であるから,$1+1=2$
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