完全数スレ

1 :名無し算:2015/11/26(木) 23:01:38.524 ID:Rro9aPww
ユークリッド原論第7巻定義22
完全数は、その数自身の部分に等しいものである
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookVII/defVII22.html
A perfect number is that which is equal to the sum its own parts.
2 :名無し算:2015/11/28(土) 19:46:35.094 ID:hgIgNUwI
$1+2+3=6$
みたいな
3 :名無し算:2015/12/11(金) 19:40:30.245 ID:RcZJICpO
ユークリッド原論第9巻命題36
もし1から始まり,続けて2倍したものを並べていき,この和が素数になるまでこれを続け,もしこの和に最後のものを掛けるとしたら,その積は完全であろう
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIX/propIX36.html
If as many numbers as we please beginning from a unit are set out continuously in double proportion until the sum of all becomes prime, and if the sum multiplied into the last makes some number, then the product is perfe
4 :名無し算:2015/12/11(金) 19:42:59.925 ID:RcZJICpO
$もし2^k - 1 が素数でN = 2^{k-1} (2^k - 1)のときNは完全数である$
5 :名無し算:2015/12/11(金) 19:43:17.544 ID:RcZJICpO
>>2
そうですね
6 :名無し算:2015/12/11(金) 19:43:47.681 ID:RcZJICpO
証明
7 :名無し算:2015/12/11(金) 19:47:04.786 ID:RcZJICpO
$p = 2^k - 1を題意にあるような素数とする
素因数分解の一意性から
N = 2^{k-1} (2^k - 1) = 2^{k-1} pの真の約数に含まれる素数は2とpのみ$
8 :名無し算:2015/12/11(金) 19:48:09.345 ID:RcZJICpO
$このことからNの真の約数を全て数え上げてその和を計算できる$
9 :名無し算:2015/12/11(金) 19:56:13.648 ID:RcZJICpO
$Nの真の約数の和\\\\$
$ = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{k-1} + p + 2p + 4p + \cdots + 2^{k-2}p\\\\$
$= ( 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{k-1} ) * p (1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{k-2})\\\\$
$ = (2^k - 1) + p (2^{k-1} + p (2^{k-1} - 1 ) = p + p2^{k-1} - p\\\\$
$ = p2^{k-1} = N$
10 :名無し算:2015/12/11(金) 19:56:51.992 ID:RcZJICpO
このようにユークリッドの考えたNは
真の約数全部の和に等しい
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