ヘロンスレ MathJax

1 :名無し算:2015/11/06(金) 11:29:54.972 ID:Nh9GN3sN
U+0394ABCの3辺の長さをa, b, cとし
その半周をs=(a+b+c)/2とおくと
U+0394ABCの面積は
2 :名無し算:2015/11/06(金) 11:32:47.614 ID:Nh9GN3sN
$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$である
3 :名無し算:2015/11/06(金) 11:32:55.957 ID:Nh9GN3sN
証明
4 :名無し算:2015/11/06(金) 19:56:11.791 ID:xMK+ByZP
http://i.imgur.com/cWYXooT.png
5 :名無し算:2015/11/06(金) 20:01:35.175 ID:xMK+ByZP
内接円の中心O
半径$r = \overline{O}\overline{S} = \overline{O}\overline{U}$
6 :名無し算:2015/11/06(金) 20:04:51.412 ID:xMK+ByZP
$ \angle OAB = \alpha/2, \angle OBA = \beta/2, \angle OCA = \gamma/2$
7 :名無し算:2015/11/06(金) 20:06:29.165 ID:xMK+ByZP
線分BOを延長
延長上にAVとBVが直交するような点Vをとる
8 :名無し算:2015/11/06(金) 20:07:20.203 ID:xMK+ByZP
線分AVと半径OSのそれぞれの延長上の交点をN
9 :名無し算:2015/11/08(日) 20:14:20.685 ID:51yIOh/k
$\angle AOV$は $\Delta AOBの外角\\\\
\angle AOV = \angle OAB + \angle OBA = \alpha/2 + \beta/2$
10 :名無し算:2015/11/08(日) 20:16:34.946 ID:51yIOh/k
$\Delta AOVは直角三角形\\\\
\angle AOVと\angle OAVを足すと直角\\\\
\alpha/2 + \beta/2 + \angle OAV = 90^\circ\\\\

しかし
\alpha/2 + \beta/2 + \gamma/2 = 90^\circ\\\\

ゆえに
\angle OAV = \gamma/2 = \angle OCU$
11 :名無し算:2015/11/08(日) 20:17:03.331 ID:51yIOh/k
$直角三角形\Delta OAVと\Delta OCUは相似$
12 :名無し算:2015/11/08(日) 20:17:23.841 ID:51yIOh/k
$\overline{A}\overline{V} / \overline{V}\overline{O} = \overline{C}\overline{U} / \overline{O}\overline{U} = z/r$
13 :名無し算:2015/11/12(木) 20:01:38.555 ID:1Nt1MH8k
$\Delta NOVと\Delta NASは相似\\\\
\Delta NASと\Delta BAVも相似\\\\
\Delta NOVと\Delta BAVも相似$
14 :名無し算:2015/11/12(木) 20:02:50.416 ID:1Nt1MH8k
$ \overline{A}\overline{V} / \overline{A}\overline{B} = \overline{O}\overline{V} / \overline{O}\overline{N}, \\\\
\overline{A}\overline{V} / \overline{O}\overline{V} = \overline{A}\overline{B} / \overline{O}\overline{N}$
15 :名無し算:2015/11/12(木) 20:03:19.631 ID:1Nt1MH8k
合わせると
$\frac{z}{r} = \frac {\overline{A}\overline{B}}{\overline{O}\overline{N}} = \frac {x + y} {\overline{S}\overline{N} - r}$
16 :名無し算:2015/11/12(木) 20:03:37.125 ID:1Nt1MH8k
$z (\overline{S}\overline{N}) = r (x + y + z) = rs$
17 :名無し算:2015/11/12(木) 20:05:08.865 ID:1Nt1MH8k
$\overline{S}\overline{N}に対する等式$

$\angle BOSと\angle VONは角度が等しい\\\\
\angle OBS = 90^\circ - \angle BOS = 90^\circ - \angle VON = \angle ANS$
18 :名無し算:2015/11/12(木) 20:05:35.596 ID:1Nt1MH8k
$\Delta NASと\Delta BOSは相似\\\\
\overline{S}\overline{N} / \overline{A}\overline{S} = \overline{B}\overline{S} / \overline{O}\overline{S}$
19 :名無し算:2015/11/12(木) 20:06:04.331 ID:1Nt1MH8k
$\overline{S}\overline{N} / x = y / r$
20 :名無し算:2015/11/12(木) 20:08:15.502 ID:1Nt1MH8k
$Area ( \Delta ABC) = rs = \sqrt { rs (rs)} = \sqrt { z ( \overline{S}\overline{N} ) (rs)}\\\\
= \sqrt {z ( \frac {xy} {r} ) rs} = \sqrt {sxyz} = \sqrt {s (s - a) (s - b) (s - c)}$
21 :名無し算:2015/11/12(木) 20:08:24.871 ID:1Nt1MH8k
証明終わり
22 :名無し算:2015/11/13(金) 19:42:46.829 ID:7XXzai9F

オイラー線
http://www.mathopenref.com/eulerline.html
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